Question

已知向量

m

=(2cosx，，2sinx)，

n

=(cosx，，

3

cosx)，函數(shù)f(x)=a

m

•

n

+b-a（a、b為常數(shù)且x∈R）．
（Ⅰ） 當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求f（x）的最小值；
（Ⅱ） 是否存在非零整數(shù)a、b，使得當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇2，8]．若存在，求出a、b的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)已知中向量

m

=(2cosx，2sinx)，

n

=(cosx，

3

cosx)，我們可求出 當(dāng)a=1，b=2時(shí)函數(shù)的解析式，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可得到（x）的最小值；
（Ⅱ）由已知中向量

m

=(2cosx，2sinx)，

n

=(cosx，

3

cosx)，我們可以計(jì)算出f（x）的解析式，進(jìn)而求出函數(shù)在區(qū)間[0，

π

2

]上的最值，進(jìn)而根據(jù)f（x）的值域?yàn)閇2，8]，構(gòu)造關(guān)于a，b的方程，解方程即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）∵向量

m

=(2cosx，2sinx)，

n

=(cosx，

3

cosx)，
 當(dāng)a=1，b=2時(shí)，
函數(shù)f(x)=

m

•

n

+1=2cos2x+2

3

sin x•cosx+1=2sin（2x+

π

6

）+2，
當(dāng)2sin（2x+

π

6

）=-1時(shí)，f（x）取最小值0
（II）∵f(x)=a

m

•

n

+b-a=2asin（2x+

π

6

）+b
當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，
f（x）的最小值為-a+b，f（x）的最大值為2a+b，
若f（x）的值域?yàn)閇2，8]．
則-a+b=2，且2a+b=8，
解得a=2，b=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)的最值，正弦函數(shù)的值域，其中根據(jù)已知中向量

m

=(2cosx，2sinx)，

n

=(cosx，

3

cosx)，結(jié)合向量數(shù)量積公式，求出函數(shù)的解析式，是解答本題的關(guān)鍵．