Question

19．如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是ABCD正方形，側(cè)棱AA₁⊥底面ABCD．已知AB=1，E為AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)D₁E+CE取得最小值$\sqrt{10}$時(shí)，三棱錐D₁-ADE的外接球表面積為$\frac{40π}{9}$．

Answer 1

分析 畫出幾何體的圖形，連接D₁A延長(zhǎng)至G使得AG=AD，連接C₁B延長(zhǎng)至F使得BF=BC，連接EF，D₁F，則D₁F為D₁E+CE的最小值，求出AA₁=$\sqrt{3}$，AE=$\frac{2}{3}$．三棱錐D₁-ADE補(bǔ)成長(zhǎng)方體，長(zhǎng)寬高分別為1，$\frac{2}{3}$，$\sqrt{3}$，其對(duì)角線長(zhǎng)為$\sqrt{1+\frac{4}{9}+3}$=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，可得三棱錐D₁-ADE的外接球的半徑，即可求出三棱錐D₁-ADE的外接球表面積．

解答 解：畫出幾何體的圖形，連接D₁A延長(zhǎng)至G使得AG=AD
連接C₁B延長(zhǎng)至F使得BF=BC，連接EF，則ABFG為正方形，
連接D₁F，則D₁F為D₁E+CE的最小值：D₁F=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{1+A{{A}_{1}}^{2}}+1）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴AA₁=$\sqrt{3}$，AE=$\frac{2}{3}$．
三棱錐D₁-ADE補(bǔ)成長(zhǎng)方體，長(zhǎng)寬高分別為1，$\frac{2}{3}$，$\sqrt{3}$，其對(duì)角線長(zhǎng)為$\sqrt{1+\frac{4}{9}+3}$=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，
∴三棱錐D₁-ADE的外接球的半徑為$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
∴三棱錐D₁-ADE的外接球表面積為為$4π•\frac{10}{9}$=$\frac{40π}{9}$．
故答案為：$\frac{40π}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是中檔題，考查正四棱柱表面距離的最小值問(wèn)題，考查折疊與展開(kāi)的關(guān)系，能夠轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)的距離是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力，計(jì)算能力．