Question

已知圓C₁：（x-2cosθ）²+（y-2sinθ）²=1與圓C₂：x²+y²=1，在下列說法中：
①對于任意的θ，圓C₁與圓C₂始終相切；
②對于任意的θ，圓C₁與圓C₂始終有四條公切線；
③當θ=

π

6

時，圓C₁被直線l：

3

x-y-1=0截得的弦長為

3

；
④P，Q分別為圓C₁與圓C₂上的動點，則|PQ|的最大值為4．
其中正確命題的序號為

 

．

Answer 1

分析：①由兩圓的方程找出圓心坐標與半徑，然后利用兩點間的距離公式求出兩圓心之間的距離，與兩半徑之和比較大小即可判斷兩圓的位置關系；
②根據(jù)①得到兩圓的位置關系即可得到兩圓的公切線的條數(shù)；
③把θ的值代入圓方程中得到圓C₁的方程，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線l的距離，由半徑和求出的弦心距，利用垂徑定理及勾股定理即可求出弦長；
④根據(jù)兩圓相切得到，兩圓心確定的直線與兩圓的兩個交點為P和Q時，|PQ|最大，最大值等于兩直徑相加．

解答：解：①由圓C₁：（x-2cosθ）²+（y-2sinθ）²=1與圓C₂：x²+y²=1，
得到圓C₁的圓心（2cosθ，2sinθ），半徑R=1；圓C₂的圓心（0，0），半徑r=1，
則兩圓心之間的距離d=

(2cosθ)2+(2sinθ)2

=2，而R+r=1+1=2，所以兩圓的位置關系是外切，此答案正確；
②由①得兩圓外切，所以公切線的條數(shù)是3條，所以此答案錯誤；
③把θ=

π

6

代入圓C₁：（x-2cosθ）²+（y-2sinθ）²=1得：（x-

3

）²+（y-1）²=1，
圓心（

3

，1）到直線l的距離d=

|3-2|

3+1

=

1

2

，
則圓被直線l截得的弦長=2

1-( 1 2 )2

=

3

，所以此答案正確；
④由兩圓外切得到|PQ|=2+2=4，此答案正確．
綜上，正確答案的序號為：①③④．
故答案為：①③④

點評：此題考查學生掌握兩圓相切時所滿足的條件，靈活運用兩點間的距離公式及點到直線的距離公式化簡求值，靈活運用垂徑定理及勾股定理化簡求值，是一道綜合題．