Question

已知各項均不相等的正項數(shù)列{a_n}，{b_n}的前n項和分別為S_n，T_n．
（1）若{a_n}，{b_n}為等差數(shù)列，求證：

lim

n→∞

an

bn

=

lim

n→∞

Sn

Tn

．
（2）將（1）中的數(shù)列{a_n}，{b_n}均換作等比數(shù)列，請給出使

lim

n→∞

an

bn

=

lim

n→∞

Sn

Tn

成立的條件．

Answer 1

分析：（1）設{a_n}，{b_n}的公差分別為d₁，d₂，則

lim

x→∞

an

bn

=

lim

x→∞

a1+(n-1)d1

b1+(n-1)d2

=

d1

d2

，由此入手能夠證明

lim

x→∞

an

bn

=

lim

x→∞

Sn

Tn

．
（2）設{a_n}，{b_n}的公比分別為q₁，q₂，則

lim

n→∞

an

bn

=

lim

n→∞

a1q1n-1

b1q2n-1

=

a1

b1

lim

n→∞

(

q1

q2

)n-1=

a1 b1 (q1=q2) 0(q1＜q2).

，

lim

n→∞

Sn

Tn

=

a1(1-q2)

b1(1-q1)

lim

n→∞

1-q1n

1-q2n

=

a1 b1 (q1=q2) a1(1-q2) b1(1-q1) (0＜q1＜1，0＜q2＜1) 0(0＜q1＜q2，q2＞1).

，由此能夠求出使

lim

n→∞

an

bn

=

lim

n→∞

Sn

Tn

成立的條件．

解答：解：（1）證明：設{a_n}，{b_n}的公差分別為d₁，d₂（d₁，d₂均不為0），則

lim

x→∞

an

bn

=

lim

x→∞

a1+(n-1)d1

b1+(n-1)d2

=

d1

d2

，…（4分）

lim

x→∞

Sn

Tn

lim

x→∞

na1+ n(n-1) 2 d1

nb1+ n(n-1) 2 d2

=

d1

d2

，
所以

lim

x→∞

an

bn

=

lim

x→∞

Sn

Tn

．…（8分）
（2）設{a_n}，{b_n}的公比分別為q₁，q₂（q₁，q₂均為不等于1的正數(shù)），則

lim

n→∞

an

bn

=

lim

n→∞

a1q1n-1

b1q2n-1

=

a1

b1

lim

n→∞

(

q1

q2

)n-1=

a1 b1 (q1=q2) 0(q1＜q2).

…（11分）

lim

n→∞

Sn

Tn

=

a1(1-q2)

b1(1-q1)

lim

n→∞

1-q1n

1-q2n

=

a1 b1 (q1=q2) a1(1-q2) b1(1-q1) (0＜q1＜1，0＜q2＜1) 0(0＜q1＜q2，q2＞1).

…（14分）
所以使

lim

x→∞

an

bn

=

lim

x→∞

Sn

Tn

成立的條件是0＜q₁＜q₂，q₂＞1或q₁=q₂．…（16分）

點評：本題考查數(shù)列問題的綜合運用，解題時要認真審題，注意數(shù)列的極限、數(shù)列的前n項和公式的合理運用．