已知各項均不相等的正項數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn
(1)若{an},{bn}為等差數(shù)列,求證:
lim
n→∞
an
bn
=
lim
n→∞
Sn
Tn

(2)將(1)中的數(shù)列{an},{bn}均換作等比數(shù)列,請給出使
lim
n→∞
an
bn
=
lim
n→∞
Sn
Tn
成立的條件.
分析:(1)設{an},{bn}的公差分別為d1,d2,則
lim
x→∞
an
bn
=
lim
x→∞
a1+(n-1)d1
b1+(n-1)d2
=
d1
d2
,由此入手能夠證明
lim
x→∞
an
bn
=
lim
x→∞
Sn
Tn

(2)設{an},{bn}的公比分別為q1,q2,則
lim
n→∞
an
bn
=
lim
n→∞
a1q1n-1
b1q2n-1
=
a1
b1
lim
n→∞
(
q1
q2
)n-1=
a1
b1
(q1=q2)
0(q1q2).
,
lim
n→∞
Sn
Tn
=
a1(1-q2)
b1(1-q1)
lim
n→∞
1-q1n
1-q2n
=
a1
b1
(q1=q2)
a1(1-q2)
b1(1-q1)
(0<q1<1,0<q2<1)
0(0<q1q2,q2>1).
,由此能夠求出使
lim
n→∞
an
bn
=
lim
n→∞
Sn
Tn
成立的條件.
解答:解:(1)證明:設{an},{bn}的公差分別為d1,d2(d1,d2均不為0),則
lim
x→∞
an
bn
=
lim
x→∞
a1+(n-1)d1
b1+(n-1)d2
=
d1
d2
,…(4分)
lim
x→∞
Sn
Tn
lim
x→∞
na1+
n(n-1)
2
d1
nb1+
n(n-1)
2
d2
=
d1
d2
,
所以
lim
x→∞
an
bn
=
lim
x→∞
Sn
Tn
.…(8分)
(2)設{an},{bn}的公比分別為q1,q2(q1,q2均為不等于1的正數(shù)),則
lim
n→∞
an
bn
=
lim
n→∞
a1q1n-1
b1q2n-1
=
a1
b1
lim
n→∞
(
q1
q2
)n-1=
a1
b1
(q1=q2)
0(q1q2).
…(11分)
lim
n→∞
Sn
Tn
=
a1(1-q2)
b1(1-q1)
lim
n→∞
1-q1n
1-q2n
=
a1
b1
(q1=q2)
a1(1-q2)
b1(1-q1)
(0<q1<1,0<q2<1)
0(0<q1q2q2>1).
…(14分)
所以使
lim
x→∞
an
bn
=
lim
x→∞
Sn
Tn
成立的條件是0<q1<q2,q2>1或q1=q2.…(16分)
點評:本題考查數(shù)列問題的綜合運用,解題時要認真審題,注意數(shù)列的極限、數(shù)列的前n項和公式的合理運用.
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(2)將(1)中的數(shù)列均換作等比數(shù)列,請給出使成立的條件.

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已知各項均不相等的正項數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn
(1)若{an},{bn}為等差數(shù)列,求證:數(shù)學公式
(2)將(1)中的數(shù)列{an},{bn}均換作等比數(shù)列,請給出使數(shù)學公式成立的條件.

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已知各項均不相等的正項數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn
(1)若{an},{bn}為等差數(shù)列,求證:
lim
n→∞
an
bn
=
lim
n→∞
Sn
Tn

(2)將(1)中的數(shù)列{an},{bn}均換作等比數(shù)列,請給出使
lim
n→∞
an
bn
=
lim
n→∞
Sn
Tn
成立的條件.

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