Question

如圖，直二面角D—AB—E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，點F在CE上，且平面ACE。

（I）求證：平面BCE；
（II）求二面角B—AC—E的正弦值；
（III）求點D到平面ACE的距離。

Answer 1

在直角三角形BCE中，CE=
在正方形ABCD中，BG=，在直角三角形BFG中，---9分
（III）由（II）可知，在正方形ABCD中，BG=DG，
D到平面ACE的距離等于B到平面ACE的距離，BF⊥平面ACE，
線段BF的長度就是點B到平面ACE的距離，即為D到平面ACE的距離.
故D到平面的距離為.------------------------------13分
另法：用等體積法亦可。
解法二：（Ⅰ）同解法一. ----------------------------------- 4分
（Ⅱ）以線段AB的中點為原點O，OE所在直線為z軸，AB所在直線為x軸，過O點平行于AD的直線為y軸，建立空間直角坐標系O—xyz，如圖.
面BCE，BE面BCE， ，
在的中點，

設平面AEC的一個法向量為，
則
令得是平面AEC的一個法向量.

又平面BAC的一個法向量為，   
∴二面角B—AC—E的正弦值為--------------------------------9分

略