Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，A是拋物線上橫坐標為4、且位于x軸上方的點，A到拋物線準線的距離等于5，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點為M．
（1）求拋物線方程；
（2）過M作MN⊥FA，垂足為N，求直線MN的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）拋物線y²=2px的準線為x=-

p

2

，于是4+

p

2

=5，由此能求出拋物線方程．
（2）點A的坐標是（4，4），由題意得B（0，4），M（0，2），F(xiàn)（1，0），從而kAF=

4

3

，由MN⊥FA，劉kMN=-

3

4

，由此能求出直線MN的方程．

解答： 解：（1）拋物線y²=2px的準線為x=-

p

2

，
于是4+

p

2

=5，
∴p=2，
∴拋物線方程為y²=4x．
（2）點A的坐標是（4，4），
由題意得B（0，4），M（0，2），
又∵F（1，0），
∴kAF=

4

3

，由MN⊥FA，劉kMN=-

3

4

，
所以直線MN的方程為y-2=-

3

4

(x-0)
即3x+4y-8=0．

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．