Question

10．已知圓C的圓心為（3，0），且經過點A（4，1），直線l：y=x．
（1）求圓C的方程；
（2）若圓C₁與圓C關于直線l對稱，點B、D分別為圓C、C₁上任意一點，求|BD|的最小值；
（3）已知直線l上一點P在第一象限，兩質點M、N同時從原點出發(fā)，點M以每秒1個單位的速度沿x軸正方向運動，點N以每秒$2\sqrt{2}$個單位沿射線OP方向運動，設運動時間為t秒．問：當t為何值時直線MN與圓C相切？

Answer 1

分析 （1）求出圓的半徑，寫出圓的方程即可．
（2）求出對稱圓的圓心坐標，判斷|BD|的最小值的情況，利用距離公式求解即可．
（3）設運動時間為t秒，依據題意求得M、N的坐標，可得M、N的斜率，由點斜式求的MN的方程，再根據當直線MN與圓C相切時，圓心C到直線MN的距離等于半徑，求得t的值．

解答 解：（1）圓的圓心（3，0），且經過點A（4，1），圓的半徑為：r=$\sqrt{（{4-3）}^{2}+（1-0）^{2}}$=$\sqrt{2}$．
圓的方程為：（x-3）²+y²=2．
（2）圓C₁與圓C關于直線l對稱，可得圓C₁：x²+（y-3）²=2．
點B、D分別為圓C、C₁上任意一點，|BD|的最小值就是兩個圓的圓心距減去兩個半徑．
圓心距為：3$\sqrt{2}$，
|BD|的最小值為：$\sqrt{2}$．
（3）設運動時間為t秒，則由題意可得|OM|=t，|ON|=2$\sqrt{2}$t，則點P（t，0）．
由于點N在直線l上，設N（m，n），m＞0，n＞0，則有m²+n²=（2$\sqrt{2}$t）²，解得m=2t，即N（2t，2t）．
故MN的斜率為$\frac{2t-0}{2t-t}$=2，
所以MN的方程為y-0=2（x-t），即2x-y-2t=0．
當直線MN與圓C相切時，圓心C到直線MN的距離等于半徑，即$\frac{|2×3-0-2t|}{\sqrt{{2}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，
解得t=3±$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
故當t=3±$\frac{\sqrt{10}}{2}$時，直線MN與圓C相切．

點評 本題主要考查圓的標準方程，直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式的應用，屬于中檔題．