Question

數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，S_n為其前n項(xiàng)和，對(duì)于任意n∈N^*，總有an，Sn，an2成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=

1

(n+1)•an

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知：對(duì)于n∈N^*，總有2Sn=an+an2成立，再寫(xiě)一式，兩式相減，可得數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用裂項(xiàng)法，可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（Ⅰ）由已知：對(duì)于n∈N^*，總有2Sn=an+an2①成立
∴2Sn-1=an-1+an-1 2（n≥2）②
①-②得2an=an+an2-an-1-an-12
∴a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）
∵a_n，a_n-1均為正數(shù)，∴a_n-a_n-1=1（n≥2）
∴數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列
又n=1時(shí)，2S1=a1+a12，解得a₁=1，
∴a_n=n．（n∈N^*）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 bn=

1

(n+1)•n

=

1

n

-

1

n+1

∴Tn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=

n

n+1

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列的求和，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．