Question

四棱錐P-ABCD的底面為菱形，且∠ABC=120°，PA⊥底面ABCD，AB=1，，
E為PC的中點(diǎn)．
（1）求二面角E-AD-C的正切值；
（2）在線(xiàn)段PC上是否存在一點(diǎn)M，使PC⊥平面MBD成立？若存在，求出MC的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）連AC、BD交于點(diǎn)O，連OE，則OE∥PA，從而OE⊥平面ABCD，
過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AD于點(diǎn)F，連EF，則易證∠EFO就是所求二面角的平面角．
由ABCD是菱形，且∠ABC=120°，AB=1，得，
又，
∴在Rt△OEF中，有．（5分）
（2）證明：過(guò)點(diǎn)B作BM⊥PC于點(diǎn)M，連DM，
則∵△PBC≌△PDC，∴DM⊥PC，
∴PC⊥平面MBD，在△PBC中，，
∴∴，
∴在PC上存在點(diǎn)M，且時(shí)，有PC⊥平面MBD．（10分）
分析：（1）連AC、BD交于點(diǎn)O，連OE，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AD于點(diǎn)F，連EF，可得∠EFO就是所求二面角的平面角，解三角形EFO，即可得到二面角E-AD-C的正切值；
（2）過(guò)點(diǎn)B作BM⊥PC于點(diǎn)M，連DM，可得△PBC≌△PDC，進(jìn)而得到DM⊥PC，BM⊥PC，由線(xiàn)面垂直的判定定理，即可得到PC⊥平面MBD．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，直線(xiàn)與平面垂直的判定，其中（1）的關(guān)鍵是求出二面角的平面角，（2）的關(guān)鍵是證明DM⊥PC，BM⊥PC．