Question

（2011•延慶縣一模）上海世博會期間，某校組織了共有16名學生參加的志愿者團隊，其中女生9人，男生7人，女生中共有5人帶了學生證，男生中共有4人帶了學生證．
（Ⅰ）在該團隊中隨機采訪3名學生，求恰有1名女生持有學生證且至多有1名男生持有學生證的概率；
（Ⅱ）在該團隊中隨機采訪3名女生，設其中持有學生證的人數為隨機變量ξ，求ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）從16名學生中隨機采訪三名學生，方法總數為C₁₆³，設恰有一名女生持有學生證至多有一名男生持有學生證為事件A，恰有一名女生持有學生證，且i名男生持有學生證為事件A_i，i=0，1，求出P（A₁）與P（A₂），最后根據互斥事件概率公式可知P（A）=P（A₁）+P（A₂）；
（Ⅱ）由題意可知ξ=0，1，2，3，然后利用等可能事件的概率公式分別求出相應的概率，得到ξ的分布列，最后利用數學期望公式解之即可．

解答：解：（Ⅰ）從16名學生中隨機采訪三名學生，方法總數為

C

3 16

=

16×15×14

3×2×1

=560…（2分）
設恰有一名女生持有學生證至多有一名男生持有學生證為事件A，
恰有一名女生持有學生證，且i名男生持有學生證為事件A_i，i=0，1
則 P(A1)=

C 1 5 C 1 4 C 1 7

C 3 16

=

140

560

=

1

4

…（3分）
P(A0)=

C 1 5 C 0 4 C 2 7

C 3 16

=

105

560

=

3

16

…（4分）
∴P(A)=

1

4

+

3

16

=

7

16

為所求   …（6分）
（Ⅱ）由題意可知ξ=0，1，2，3…（7分）
P(ξ=0)=

C 3 4

C 3 9

=

4

84

，P(ξ=1)=

C 1 5 C 2 4

C 3 9

=

30

84

=

15

42

，P(ξ=2)=

C 2 5 C 1 4

C 3 9

=

40

84

=

10

21

，P(ξ=3)=

C 3 5 C 0 4

C 3 9

=

10

84

=

5

42

…（11分）
因此ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P（ξ）	1 21	15 42	10 21	5 21

Eξ=0×

1

21

+1×

15

42

+2×

10

21

+3×

5

42

=

50

42

=

25

21

…（13分）

點評：本題主要考查了等可能事件的概率，以及離散型隨機變量的數學期望和分布列，同時考查了計算能力，屬于中檔題．