Question

15．已知：平行四邊形ABCD，對角線AC，BD交于點O，點E為線段OB中點，完成下列各題（用于填空的向量為圖中已有有向線段所表示向量）．
（1）當以{$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$}為基底時，設$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$，
用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{OD}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow-\overrightarrow{a}）$；
用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{AE}$=$\frac{3}{4}\overrightarrow{a}+\frac{1}{4}\overrightarrow$；
（2）設點MN分別為邊DC，BC中點．
①當以{$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$}為基底時，設$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow9bzng5v$，
用$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrowkaohjxb$表示$\overrightarrow{AN}$，則$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{c}$+$\frac{1}{2}\overrightarrowul0budw$．
②當以{$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AN}$}為基底時，設$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{n}$，用$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$表示：
$\overrightarrow{AB}$=$\frac{4}{3}\overrightarrow{n}-\frac{2}{3}\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{n}+\frac{2}{3}\overrightarrow{m}$，$\overline{OE}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{n}+\frac{1}{2}\overrightarrow{m}$．

Answer 1

分析 利用向量的三角形法則、平行四邊形法則逐一求解．

解答 解：（1）$\overrightarrow{OD}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}）=\frac{1}{2}（\overrightarrow-\overrightarrow{a}）$；$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AB}）$，$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）$，∴$\overrightarrow{AE}=\frac{3}{4}\overrightarrow{a}+\frac{1}{4}\overrightarrow$；
（2）①依題意$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{c}+\frac{1}{2}\overrightarrowgrzdruc$；
②$2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}$，$2\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{AB}$；
⇒$\overrightarrow{AB}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AN}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}=\frac{4}{3}\overrightarrow{n}-\frac{2}{3}\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{AD}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AM}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AN}=\frac{4}{3}\overrightarrow{m}-\frac{2}{3}\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{m}+\frac{2}{3}\overrightarrow{n}$；
$\overrightarrow{OE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{DB}=\frac{1}{4}（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}）=\frac{1}{2}\overrightarrow{n}-\frac{1}{2}\overrightarrow{m}$．

點評 本題考查了向量的線性運算，熟練運用三角形法則是解題關鍵，屬于基礎題．