Question

6．設p：實數(shù)t滿足t²-5at+4a²＜0（其中a≠0），q：方程$\frac{{x}^{2}}{t-2}$+$\frac{{y}^{2}}{t-6}$=1表示雙曲線．
（Ⅰ）若a=1，且p∧q為真命題，求實數(shù)t的取值范圍；
（Ⅱ）若q是p的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若a=1，分別求出p，q成立的等價條件，利用p∧q為真命題，即可求實數(shù)t的取值范圍；
（Ⅱ）利用q是p的充分條件，⇒命題q所包含的a的集合是命題p所包含a的集合的子集，求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）命題p真：a=1，則不等式為t²-5t+4＜0，即1＜t＜4，
命題q真：則（t-2）（t-6）＜0，即2＜t＜6．
若p∧q為真命題，則p，q都為真命題，
即$\left\{\begin{array}{l}{1＜t＜4}\\{2＜t＜6}\end{array}\right.$，解得2＜t＜4，
則實數(shù)t的取值范圍{t|2＜t＜4}．
（Ⅱ）命題p真：t²-5at+4a²＜0（其中a≠0），則（t-a）（t-4a）＜0，
若a＞0，則得a＜t＜4a；若a＜0，則4a＜t＜a，
q真：t∈（2，6），
∵若q是p的充分條件，
則當a＞0時，$\left\{\begin{array}{l}{4a≥6}\\{a≤2}\end{array}\right.$⇒$\frac{3}{2}≤a≤2$；
若a＜0，則不滿足條件．
即實數(shù)a的取值范圍是[$\frac{3}{2}$，2]．

點評 本題主要考查復合命題與簡單命題之間的關系，利用充分條件和必要條件的定義是解決本題的關鍵，屬于基礎題．