Question

如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點(diǎn)．
（I）求證：平面PAC⊥平面PBC；
（II）若AB=2，AC=1，PA=1，求證：二面角C-PB-A的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要證平面PAC⊥平面PBC，只要證明平面PBC經(jīng)過(guò)平面PAC的一條垂線(xiàn)BC即可，利用題目給出的條件借助于線(xiàn)面垂直的判定定理能夠證明BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）因?yàn)槠矫鍼AB和平面ABC垂直，只要在平面ABC內(nèi)過(guò)C作兩面的郊縣AB的垂線(xiàn)，然后過(guò)垂足再作PB的垂線(xiàn)，連結(jié)C和后一個(gè)垂足即可得到二面角C-PB-A的平面角，然后在作出的直角三角形中通過(guò)解直角三角形即可求得二面角C-PB-A的余弦值．
解答：（Ⅰ）證明：如圖，

由AB是圓的直徑，得AC⊥BC．
由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC．
又PA∩AC=A，PA?平面ABC，AC?平面PAC，
所以BC⊥平面PAC．
因?yàn)锽C?平面PBC，
所以平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）解：過(guò)C作CM⊥AB于M，
因?yàn)镻A⊥平面ABC，CM?平面ABC，所以PA⊥CM，
故CM⊥平面PAB．
過(guò)M作MN⊥PB于N，鏈接NC．
由三垂線(xiàn)定理得CN⊥PB．
所以∠CNM為二面角C-PB-A的平面角．
在Rt△ABC中，由AB=2，AC=1，得，，．
在Rt△ABP中，由AB=2，AP=1，得．
因?yàn)镽t△BNM∽R(shí)t△BAP，所以．
故MN=．
又在Rt△CNM中，．故cos．
所以二面角C-PB-A的余弦值為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面與平面垂直的判定，考查了二面角的平面角及其求法，“尋找垂面，構(gòu)造垂線(xiàn)”是找二面角的平面角常用的方法，此題是中檔題．