Question

12．設函數f（x）=2x+log₃$\frac{x-1}{1-ax}$為奇函數，a為常數．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅲ）若對于區(qū)間[2，3]上的每一個x值，不等式f（x）＞（$\frac{1}{2}$）^x•m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）$f（x）=2x+{log_3}\frac{x-1}{1-ax}$為奇函數為奇函數，可得f（-x）+f（x）=0對定義域內的任意x都成立，即可求實數a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，$f（x）=2x+{log_3}\frac{x-1}{x+1}$，則函數f（x）的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞），即可討論函數f（x）的單調性，并寫出單調區(qū)間；
（Ⅲ）由題意知不等式$f（x）＞{（\frac{1}{2}）^x}•m$在x∈[2，3]上恒成立，即不等式$\frac{f（x）}{{{{（\frac{1}{2}）}^x}}}＞m$在x∈[2，3]上恒成立，即可求實數m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=2x+{log_3}\frac{x-1}{1-ax}$為奇函數，
∴f（-x）+f（x）=0對定義域內的任意x都成立．…（1分）
即$-2x+{log_3}\frac{-x-1}{1+ax}+2x+{log_3}\frac{x-1}{1-ax}=0$對定義域內的任意x都成立．…（2分）
∴${log_3}\frac{-x-1}{1+ax}=-{log_3}\frac{x-1}{1-ax}$，∴$\frac{-x-1}{1+ax}=\frac{1-ax}{x-1}$，
∴1-x²=1-a²x²，∴a²=1，…（3分）
解得a=-1或a=1（舍去），所以a=-1．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，$f（x）=2x+{log_3}\frac{x-1}{x+1}$，則函數f（x）的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞）．…（5分）
任取x₁，x₂∈（1，+∞），設x₁＜x₂，則$\frac{{{x_1}-1}}{{{x_1}+1}}-\frac{{{x_2}-1}}{{{x_2}+1}}=\frac{{2（{x_1}-{x_2}）}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}＜0$，
∴函數$y={log_3}\frac{x-1}{x+1}$為增函數，∴y=f（x）在（1，+∞）上為增函數，…（7分）
同理函數f（x）（-∞，-1）也為增函數．
所以函數f（x）的單調增區(qū)間為（1，+∞），（-∞，-1）．…（8分）
（Ⅲ）由題意知不等式$f（x）＞{（\frac{1}{2}）^x}•m$在x∈[2，3]上恒成立，
即不等式$\frac{f（x）}{{{{（\frac{1}{2}）}^x}}}＞m$在x∈[2，3]上恒成立．…（9分）
令函數$g（x）=\frac{f（x）}{{{{（\frac{1}{2}）}^x}}}，x∈[2，3]$，由（Ⅱ）知函數y=f（x）在x∈[2，3]上是增函數，
∵函數$y={（\frac{1}{2}）^x}$在x∈[2，3]上是減函數，∴函數y=g（x）在x∈[2，3]上是增函數，
∴g（x）_min=g（2）=16-4log₃3=12．…（11分）
所以m的取值范圍為（-∞，12）．…（12分）

點評 本題考查函數的奇偶性、單調性，考查學生的計算能力，考查恒成立問題，屬于中檔題．