Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）設(shè)，求t的取值范圍；
（Ⅱ）關(guān)于x的方程f（x）-m=0，x∈[0，1]，存在這樣的m值，使得對(duì)每一個(gè)確定的m，方程都有唯一解，求所有滿(mǎn)足條件的m．
（Ⅲ）證明：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，存在正數(shù)β，使得不等式成立的最小正數(shù)α=2，并求此時(shí)的最小正數(shù)β．

Answer 1

解：（Ⅰ）函數(shù)定義域x∈[-1，1]，，∵t≥0，∴，即t 的取值范圍是 （Ⅱ），由（Ⅰ），，g（t） 在 單調(diào)遞增，所以．設(shè)x₁，x₂∈[0，1]，x₁≠x₂，則1-x₁²≠1-x₂²，即，即t₁≠t₂．故存在m，使得對(duì)每一個(gè) ，方程都有唯一解x₀∈[0，1]．
（Ⅲ）===．以下證明，對(duì)0＜α0，不等式 （0≤x≤1）不成立．反之，由 ，亦即x^2-α 成立，因?yàn)?-α＞0，，但f（0）=8，這是不可能的．這說(shuō)明α=2 是滿(mǎn)足條件的最小正數(shù)．這樣，不等式 （x∈[0，1]） 恒成立，即 恒成立，∴=，最小正數(shù)β=4
分析：（Ⅰ）兩邊平方，借助于函數(shù)定義域x∈[-1，1]，求得t 的取值范圍是；（Ⅱ）只需要求出函數(shù)x∈[0，1]的值域即可知m值的范圍；（Ⅲ）將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為 恒成立，∴=，從而求出最小正數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義，以及分類(lèi)討論的思想，解題的關(guān)鍵是對(duì)于恒成立的理解，是一道綜合題