已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,對于任意的n≥2,恒有Sn=2Sn-1+n,(n∈N*
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an
(2)若cn=
1
an+1-n-1
,證明:c1+c2+…+cn
23
12
分析:(1)利用數(shù)列遞推式,再寫一式,兩式相減,可得數(shù)列{an+1}是以a1+1=2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,從而可求數(shù)列的通項(xiàng);
(2)確定cn的表達(dá)式,利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行放縮,再用裂項(xiàng)法求和,即可證得結(jié)論;也可以利用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n≥2時,總有2n≥n+2,從而可得結(jié)論.
解答:(1)解:當(dāng)n≥2時,Sn=2Sn-1+n,又Sn+1=2Sn+n+1,
兩式相減得:an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1),
又a1=1,S2=2S1+2,得a2=3,滿足a2+1=2(a1+1),
∴數(shù)列{an+1}是以a1+1=2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.
an+1=2•2n-1=2n,∴an=2n-1,n∈N*
(2)證明:由(1)可知∴an=2n-1,n∈N*,∴an+1=2n+1-1
cn=
1
an+1-n-1
=
1
2n+1-n-2

因?yàn)?span id="h71tjxd" class="MathJye">2n+1-n-2=(1+1)n+1-n-2=
C
0
n+1
+
C
1
n+1
+
C
2
n+1
+…
C
n+1
n+1
-n-2
C
0
n+1
+
C
1
n+1
+
C
2
n+1
-n-2=
(n+1)n
2

cn=
1
2n+1-n-2
1
n(n+1)
2
=
2
n
-
2
n+1
,
c1=1<
23
12
;c1+c2=1+
1
4
=
5
4
23
12

當(dāng)n≥3時,c1+c2+…+cn=1+
1
4
+2(
1
3
-
1
4
)+2(
1
4
-
1
5
)+…2(
1
n
-
1
n+1
)=
5
4
+2(
1
3
-
1
n+1
)<
5
4
+
2
3
=
23
12

則不等式成立.
另解:cn=
1
an+1-n-1
=
1
2n+1-n-2
2n+1-n-2=2n+(2n-n-2),當(dāng)n≥2時,總有2n≥n+2(用數(shù)學(xué)歸納法證明,略)
當(dāng)n=1,c1=1<2
則n≥2時,cn=
1
2n+1-n-2
=
1
2n+(2n-n-2)
1
2n

c1+c2+…+cn
1
1
+(
1
2
)2+(
1
2
)3+…(
1
2
)n=1+
1
4
(1-(
1
2
)
n-1
)
1-
1
2
=1+
1
2
-(
1
2
)n
3
2
23
12

則不等式成立.
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列的通項(xiàng),考查等比數(shù)列的證明,考查數(shù)列與不等式的綜合,考查裂項(xiàng)法求數(shù)列的和,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
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