Question

設(shè){a_n}為等比數(shù)例，T_n=na₁+（n-1）a₂…+2a_n-1+a_n，已知T₁=1，T₂=4，
（1）求數(shù)列{a_n}的首項和公比；
（2）求數(shù)列{T_n}的通項公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意，首先設(shè)出等比數(shù)列的公比為q，利用題中已知的式子表示出T₁，T₂，又根據(jù)T₁=1，T₂=4，進而求出答案．
（2）根據(jù)等比數(shù)列的求和公式推出T_n的通項公式即可．
解答：解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}以比為q，則T₁=a₁，T₂=2a₁+a₂=a₁（2+q）．
∵T₁=1，T₂=4，
∴a₁=1，q=2．
（2）設(shè)S_n=a₁+a₂+…+a_n．
由（1）知a_n=2^n-1．
∴S_n=1+2+…+2^n-1
=2ⁿ-1
∴T_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n
=a₁+（a₁+a₂）+…+（a₁+a₂+…+a_n-1+a_n）
=S₁+S₂+…+S_n
=（2+1）+（2ⁿ-1）+…+（2ⁿ-1）
=（2+2ⁿ+…+2ⁿ）-n
=
=2ⁿ⁺¹-2-n
點評：本小題主要考查等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識和基本技能，運算能力．