Question

已知f（x）=

3

cos2x+2sin（

3π

2

+x）sin（π-x），x∈R
（Ⅰ）最小正周期及對稱軸方程；
（Ⅱ）已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且f（A）=-

3

，a=3，求BC邊上的高的最大值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式，誘導公式和兩角和公式對函數(shù)解析式進行化簡，利用三角函數(shù)圖象和性質(zhì)求得其最小正周期T，及對稱軸．
（Ⅱ）利用三角形面積公式得到h和bc的關(guān)系式，進而利用余弦定理得到b和c的關(guān)系式，利用基本不等式的性質(zhì)求得bc的最大值，進而求得h的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

3

cos2x+2sin（

3π

2

+x）sin（π-x）=

3

cos2x-2cosxsinx=

3

cos2x-sin2x=2（

3

2

cos2x-

1

2

sin2x）=2cos（2x+

π

6

），
∴T=

2π

2

=π，
令2x+

π

6

=kπ（k∈Z），即x=

kπ

2

-

π

12

（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）的對稱軸方程為x=

kπ

2

-

π

12

（k∈Z），
（Ⅱ）∵f（x）=2cos（2x+

π

6

），
∴f（A）=2cos（2A+

π

6

）=-

3

，即cos（2A+

π

6

）=-

3

2

，
∵0＜A＜

π

2

，
∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

7π

6

，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，
∴A=

π

3

．
設(shè)BC邊上的高位h，
則S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

a•h，即bc=3h，h=

bc

3

，
∵cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

b2+c2-9

2bc

=

1

2

，
∴bc+9=b²+c²，
∵b²+c²≥2bc，當且僅當b=c時，等號成立．
∴bc+9≥2bc，bc≤9，此時b=c，
∵A=

π

3

，
∴b=c=a=3，等號能成立．
∴此時h=

bc

3

=3．
∴h的最大值為3．

點評：本題主要考查了正弦定理，余弦定理，誘導公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用．考查了基礎(chǔ)的知識的綜合運用．