Question

已知函數(shù)y=

3

sinωx•cosωx+cos²ωx（ω＞0）的周期為

π

2

．
（1）求ω的值；
（2）當(dāng)0≤x≤

π

4

時，求函數(shù)的最大值和最小值以及相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，通過周期求出ω的值；
（2）根據(jù)x的范圍，確定4x+

π

6

，求出y的范圍，即可得到函數(shù)的最值，以及x 的值．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=

3

sinωx•cosωx+cos²ωx=

3

2

sin2ωx +

1

2

cos2ωx -

1

2

=sin（ωx+

π

6

 ）-

1

2

由f（x）的周期 T=

2π

ω

=

π

2

，
得ω=2．
（2）由（1）可知f（x）=sin（4x+

π

6

 ）-

1

2

∵0≤x≤

π

4

，∴

π

6

≤4x+

π

6

≤

7π

6

，∴0≤sin（4x+

π

6

 ）-

1

2

≤

3

2

，
當(dāng)x=

π

4

時，y有最小值為0，當(dāng)x=

π

12

時函數(shù)有最大值為

3

2

．

點評：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡二倍角公式的應(yīng)用，兩角和的正弦函數(shù)的應(yīng)用，三角函數(shù)在閉區(qū)間最值的求法，考查計算能力．常考題型．