Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-2a_n（n∈N^*）．
（1）證明：數(shù)列{a_n+1-a_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）若數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)b₁=1，且滿足4nbn+1=(an+1)2bn(n∈N*)，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n．

Answer 1

分析：（1）利用等比數(shù)列的定義，構(gòu)造

an+2-an+1

an+1-an

=q≠0進(jìn)行證明．
（2）利用（I）可先求a_n+1-a_n=2ⁿ，利用疊加法可得a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，從而可求a_n
（3）由已知可得b_n+1=b_n所以{b_n}是首項(xiàng)為1的常數(shù)數(shù)列．

解答：解：（1）證明：∵a_n+2=3a_n+1-2a_n∴a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n）…（2分）∵a₁=1，a₂=3∴a₂-a₁=2≠0
∴{a_n+1-a_n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．  …（4分）
（2）解：由（I）得a_n+1-a_n=2ⁿ  …（5分）∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，…（7分）
=2^n-1+2^n-2+…+2+1=2ⁿ-1…（9分）
（3）因?yàn)?span id="lxf95fp" class="MathJye">4bn+1=(an+1)2bn(n∈N*)，
且由（II）知，b_n+1=b_n…（10分）
所以{b_n}是首項(xiàng)為1的常數(shù)數(shù)列           …（11分）
所以S_n=n（n∈N^*）…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查數(shù)列、不等式等基本知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查化歸的數(shù)學(xué)思想方法在解題中的運(yùn)用，考查綜合解題能力．