Question

已知向量=（cosα，sinα），向量=（cosβ，sinβ），|-|=．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）若0＜α＜，-＜β＜0，且cosβ=，求sinα的值．

Answer 1

解：（1）∵向量=（cosα，sinα），向量=（cosβ，sinβ），
∴||=||=1，
又∵|-|=．
∴|-|²==||²+||²-2•
∴•=cos（α-β）=
（2）∵0＜α＜，-＜β＜0，
∴0＜α-β＜π
由（1）中cos（α-β）=，得sin（α-β）=
∵cosβ=，∴sinβ=-
∴sinα=sin[（α-β）+β]
=sin（α-β）•cosβ+cos（α-β）•sinβ
=
分析：（1）由已知中向量=（cosα，sinα），向量=（cosβ，sinβ），可得cos（α-β）=•，我們可以先求出向量||=||=1，再由|-|=，我們可以求出•的值．
（2）由已知中0＜α＜，-＜β＜0，且cosβ=，結(jié)合（1）中結(jié)論，我們可以求出sin（α-β）的值，及sinβ值，代入sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）•cosβ+cos（α-β）•sinβ即可得到答案．
點評：本題考查的知識點是平面向量的模，平面向量的數(shù)量積，三角函數(shù)給值求值問題，是平面向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中（1）的關(guān)鍵是根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式得到•=cos（α-β），（2）的關(guān)鍵是分析出sinα=sin[（α-β）+β]，將問題轉(zhuǎn)化為求兩角和的正弦值問題．