Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(0，

2

)且斜率為k的直線l與橢圓

x2

2

+y2=1有兩個不同的交點P和Q．
（Ⅰ）求k的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A，B，是否存在常數(shù)k，使得向量

OP

+

OQ

與

AB

共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）直線l與橢圓有兩個不同的交點，即方程組有2個不同解，轉(zhuǎn)化為判別式大于0．
（2）利用2個向量共線時，坐標(biāo)之間的關(guān)系，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求兩根之和，解方程求常數(shù)k．

解答：解：（Ⅰ）由已知條件，直線l的方程為y=kx+

2

，
代入橢圓方程得

x2

2

+(kx+

2

)2=1．
整理得(

1

2

+k2)x2+2

2

kx+1=0①
直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q，等價于①的判別式△=8k2-4(

1

2

+k2)=4k2-2＞0，
解得k＜-

2

2

或k＞

2

2

．即k的取值范圍為(-∞，-

2

2

)∪(

2

2

，+∞)．
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

OP

+

OQ

=(x1+x2，y1+y2)，
由方程①，x1+x2=-

4 2 k

1+2k2

． ②
又y1+y2=k(x1+x2)+2

2

． ③
而A(

2

，0)，B(0，1)，

AB

=(-

2

，1)．
所以

OP

+

OQ

與

AB

共線等價于x1+x2=-

2

(y1+y2)，
將②③代入上式，解得k=

2

2

．
由（Ⅰ）知k＜-

2

2

或k＞

2

2

，
故沒有符合題意的常數(shù)k．

點評：本題主要考查直線和橢圓相交的性質(zhì)，2個向量共線的條件，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)而思想，屬于中檔題．