Question

（2013•遼寧二模）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x²+2x．現(xiàn)已畫出函數(shù)f（x）在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示，并根據(jù)
（1）寫出函數(shù)f（x）（x∈R）的增區(qū)間；
（2）寫出函數(shù)f（x）（x∈R）的解析式；
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）-2ax+2（x∈[1，2]），求函數(shù)g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可作出f（x）的圖象，由圖象可得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）令x＞0，則-x＜0，根據(jù)條件可得f（-x）=x²-2x，利用函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，可得f（x）=f（-x）=x²-2x，從而可得函數(shù)f（x）的解析式；
（3）先求出拋物線對(duì)稱軸x=a-1，然后分當(dāng)a-1≤1時(shí)，當(dāng)1＜a-1≤2時(shí)，當(dāng)a-1＞2時(shí)三種情況，根據(jù)二次函數(shù)的增減性解答．

解答：解：（1）如圖，根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可作出f（x）的圖象，（2分），
則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），（1，+∞）；（5分）
（2）令x＞0，則-x＜0，∴f（-x）=x²-2x
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（x）=f（-x）=x²-2x
∴解析式為f（x）=

x2+2x，x≤0 x2-2x，x＞0

（10分）
（3）g（x）=x²-2x-2ax+2，對(duì)稱軸為x=a+1，
當(dāng)a+1≤1時(shí)，g（1）=1-2a為最小；
當(dāng)1＜a+1≤2時(shí)，g（a+1）=-a²-2a+1為最��；
當(dāng)a+1＞2時(shí)，g（2）=2-4a為最��；
∴g（x）=

1-2a，a≤0 -a2-2a+1，0＜a≤1 2-4a，a＞1

．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)圖象的作法，考查函數(shù)解析式的確定與函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．