Question

11．如圖，三棱錐P-ABC中，PA=PC，底面ABC為正三角形．
（Ⅰ）證明：AC⊥PB；
（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABC，AC=PC=2，求二面角A-PC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AC中點(diǎn)O，連接PO，BO，由等腰三角形的性質(zhì)可得PO⊥AC，BO⊥AC，再由線面垂直的判定可得AC⊥平面POB，則AC⊥PB；
（Ⅱ）由平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，可得PO⊥平面ABC，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)A、OB、OP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后分別求出平面PBC與平面PAC的一個(gè)法向量，利用兩法向量所成角的余弦值求得二面角A-PC-B的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，
取AC中點(diǎn)O，連接PO，BO，
∵PA=PC，∴PO⊥AC，
又∵底面ABC為正三角形，∴BO⊥AC，
∵PO∩OB=O，∴AC⊥平面POB，則AC⊥PB；
（Ⅱ）解：∵平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，
PO⊥AC，∴PO⊥平面ABC，
以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)A、OB、OP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AC=PC=2，∴P（0，0，$\sqrt{3}$），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-1，0，0），$\overrightarrow{PB}=（0，\sqrt{3}，-\sqrt{3}）$，
$\overrightarrow{BC}=（-1，-\sqrt{3}，0）$，
設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{3}y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-x-\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取y=-1，得$\overrightarrow{n}=（\sqrt{3}，-1，-1）$，
又$\overrightarrow{OB}=（0，\sqrt{3}，0）$是平面PAC的一個(gè)法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{OB}$＞=$\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{5}×\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴二面角A-PC-B的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定和性質(zhì)，考查了空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解二面角的平面角，是中檔題．