設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,a0,a1,a2,a3,a4∈R,當(dāng)x=-1時(shí),f(x)取得極大值
2
3
,且函數(shù)y=f(x+1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,0)對(duì)稱.
(Ⅰ)求f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)在函數(shù)y=f(x)的圖象上是否存在兩點(diǎn),使以這兩點(diǎn)為切點(diǎn)的切線互相垂直,且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在[-
2
,
2
]
上?如果存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說明理由;
(Ⅲ)設(shè)xn=
2n-1
2n
,  ym=
2
(1-3m)
3m
(m,n∈N*)
,求證:|f(xn)-f(ym)|<
4
3
(Ⅰ)將y=f(x+1)的圖象向右平移1個(gè)單位,得到y(tǒng)=f(x)的圖象,
所以y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱,即y=f(x)是奇函數(shù),
所以f(x)=a1x3+a3x,由題意,得
f′(-1)=3a1+a3=0
f(-1)=-a1-a3=
2
3
?
a1=
1
3
a3=-1.
所以f(x)=
1
3
x3-x


(Ⅱ)由(Ⅰ)得f'(x)=x2-1,
假設(shè)存在兩切點(diǎn)為(x1,f(x1)),(x2,f(x2))  (x1,x2∈[-
2
,
2
])

則f'(x1)•f'(x2)=(x12-1)(x22-1)=-1.因?yàn)椋▁12-1)、(x22-1)∈[-1,1]
所以
x21
-1=-1
x22
-1=1
x21
-1=1
x22
-1=-1.
x1=0
x2
2
x1
2
x2=0

從而可得所求兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,0),(
2
,-
2
3
)
(0,0),(-
2
,
2
3
)

(Ⅲ)因?yàn)楫?dāng)x∈[
1
2
,1)
時(shí),f'(x)<0,所以f(x)在[
1
2
,1)
遞減.
由已知得xn∈[
1
2
,1)
,
所以f(xn)∈(f(1),f(
1
2
)]
,即f(xn)∈(-
2
3
,-
11
24
]

注意到x<-1時(shí),f′(x)>0,-1<x<1時(shí),f′(x)<0,
故f(x)在(-∞,-1)上遞增,在(-1,1)上遞減,
由于ym=
2
3m
-
2
,
所以ym∈(-
2
,-
2
2
3
]

因?yàn)?span dealflag="1" mathtag="math" >-
2
<-1<-
2
2
3
,
所以f(ym)∈(f(-
2
),f(-1)]
,
f(ym)∈(
2
3
,
2
3
]

所以|f(xn)-f(ym)|=f(ym)-f(xn)<
2
3
-(-
2
3
)=
4
3
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)=
1
x-2
(x>2)
1
2-x
(x<2)
1(x=2)
,若關(guān)于x的方程f2(x)+af(x)+b=3有且只有3個(gè)不同實(shí)數(shù)解x1、x2、x3,且x1<x2<x3,則x12+x22+x32=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)•f(x+2)=3,若f(1)=2,則f(5)=
2
2
;f(2011)=
3
2
3
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•順義區(qū)二模)設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2π的偶函數(shù),f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).當(dāng)x∈[0,π]時(shí),0<f(x)<1;當(dāng)x∈(0,π)且x≠
π
2
時(shí),(x-
π
2
)f′(x)<0
.則函數(shù)y=f(x)-cosx在[-3π,3π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為
6
6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+π)=f(x-π),f(
π
2
-x
)=f(
π
2
+x
),當(dāng)x∈[-
π
2
π
2
]
時(shí),0<f(x)<1;當(dāng)x∈(-
π
2
π
2
)
且x≠0時(shí),x•f′(x)<0,則y=f(x)與y=cosx的圖象在[-2π,2π]上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)同時(shí)滿足以下條件:①f(x+1)=-f(x)對(duì)任意的x都成立;②當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=ex-e•cos
πx
2
+m(其中e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),m是常數(shù)).記f(x)在區(qū)間[2013,2016]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為n,則( 。
A、m=-
1
2
,n=6
B、m=1-e,n=5
C、m=-
1
2
,n=3
D、m=e-1,n=4

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同步練習(xí)冊(cè)答案