Question

【題目】設(shè)圓 的圓心為F1 ， 直線l過(guò)點(diǎn)F2（2，0）且不與x軸、y軸垂直，且與圓F1于C，D兩點(diǎn)，過(guò)F2作F1C的平行線交直線F1D于點(diǎn)E，
（1）證明||EF1|﹣|EF2||為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線Γ，直線l交Γ于M，N兩點(diǎn)，過(guò)F2且與l垂直的直線與圓F1交于P，Q兩點(diǎn)，求△PQM與△PQN的面積之和的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：圓 ，圓心F1（﹣2，0），半徑r=2，如圖所示．

因?yàn)镕1C∥EF2，所以∠F1CD=∠EF2D．

又因?yàn)镕1D=F1C，所以∠F1CD=∠F1DC，

所以∠EF2D=∠F1DC，

又因?yàn)椤螰1DC=∠EDF2，所以∠EF2D=∠EDF2，

故ED=EF2，可得||EF1|﹣|EF2||=||EF1|﹣|ED||=|F1D|=2＜|F1F2|，

根據(jù)雙曲線的定義，可知點(diǎn)E的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線（頂點(diǎn)除外），

且a=1，c=2，b= = ，

故點(diǎn)E的軌跡方程為

（2）解： ．

依題意可設(shè)l：x=my+2（m≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），

由于PQ⊥l，設(shè)lPQ：y=﹣m（x﹣2）．

圓心F1（﹣2，0）到直線PQ的距離 ，

所以 ，

又因?yàn)閐＜2，解得 ．

聯(lián)立直線l與雙曲線Γ的方程 ，消去x得（3m2﹣1）y2+12my+9=0，

則 ，

所以 ，

記△PQM，△PQN的面積分別為S1，S2，

則 ，

又因?yàn)? ，所以S1+S2∈（12，+∞），

所以S1+S2的取值范圍為（12，+∞）

【解析】（1）求得圓F1的圓心和半徑，運(yùn)用平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，可得ED=EF2，再由雙曲線的定義，即可得到所求定值和雙曲線的方程；（2）設(shè)出l：x=my+2（m≠0），lPQ：y=﹣m（x﹣2），設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），求出圓心到直線PQ的距離，運(yùn)用弦長(zhǎng)公式可得|PQ|；再由直線l的方程和雙曲線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，可得|MN|，再由三角形的面積公式可得△PQM與△PQN的面積之和為 |MN||PQ|，化簡(jiǎn)整理，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得到所求范圍．