Question

函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），若a+b+c=0，導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足f′（0）f′（1）＞0，設(shè)f'（x）=0的兩根為x₁，x₂，則|x₁-x₂|的取值范圍是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：先求出f′（x）=3ax²+2bx+c，可得 == ++，由f′0）•f′（1）＞0，
解得-2＜＜-1，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍，即可求得|x₁-x₂|的取值范圍．
解答：由題意得：f′（x）=3ax²+2bx+c，∵x₁，x₂是方程f′（x）=0的兩個根，
∴x₁+x₂=-，x₁•x₂=．∴|x₁-x₂|² =-4x₁x₂ ，
∴=-4x₁•x₂ =．
∵a+b+c=0，∴c=-a-b，
∴== ++．
∵f′0）•f′（1）＞0，f（0）=c=-（a+b），且f′（1）=3a+2b+c=2a+b，∴（a+b）（2a+b）＜0，
即2a²+3ab+b²＜0，∵a≠0，兩邊同除以a²得：+3 +2＜0，解得-2＜＜-1．
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)=-時，有最小值為 ，
當(dāng)趨于-1時， 趨于 ，故 ∈，
故|x₁-x₂|∈，
故選A．
點(diǎn)評：本題考查根與系數(shù)的關(guān)系的靈活運(yùn)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．