Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-a²x+m+2（a＞0），
（Ⅰ）若f（x）在[-1，1]內(nèi)沒有極值點，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當a=2時，方程f（x）=0有三個互不相同的解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出導數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，由于f（x）在[-1，1]內(nèi)沒有極值點，則[-1，1]是單調(diào)區(qū)間，且為減區(qū)間，列出不等式，解出即可；
（Ⅱ）當a=2時，方程f（x）=0即x³+2x²-4x+m+2=0，-m-2=x³+2x²-4x，有三個互不相同的解，畫出曲線
y=x³+2x²-4x，直線y=-m-2，求出極值，令-m-2介于極小值和極大值之間．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+2ax-a²=（x+a）（3x-a），（a＞0），
f′（x）＞0得x＞

a

3

或x＜-a；f′（x）＜0得-a＜x＜

a

3

．
由于f（x）在[-1，1]內(nèi)沒有極值點，
則[-1，1]是單調(diào)區(qū)間，且為減區(qū)間，
則[-1，1]⊆（-a，

a

3

），故-a＜-1＜1＜

a

3

，
即有a＞3；
（Ⅱ）當a=2時，方程f（x）=0即x³+2x²-4x+m+2=0，
-m-2=x³+2x²-4x，有三個互不相同的解，
畫出曲線y=x³+2x²-4x，直線y=-m-2，
由于y′=3x2+4x-4=0，解得x₁=-2，x₂=

2

3

，
在x=-2處的導數(shù)左正右負，為極大值點，極大值為8；
在x=

2

3

處的導數(shù)左負右正，為極小值點，極小值為-

40

27

．
則有-

40

27

＜-m-2＜8，解得-10＜m＜-

14

27

．
故實數(shù)m的取值范圍是(-10，-

14

27

)．

點評：本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用：求單調(diào)區(qū)間和求極值，考查方程的根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象的交點問題，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．