Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=BB₁，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．
（I）求證：A₁C₁∥平面AB₁C；
（Ⅱ）求證：△AB₁D為直角三角形；
（Ⅲ）若三棱錐B₁-ACD的體積為

3

3

，求棱BB₁的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的幾何特征，可得A₁C₁∥AC，進(jìn)而由線面平行的判定定理得到A₁C₁∥平面AB₁C；
（Ⅱ）根據(jù)正三角形三線合一及面面垂直的性質(zhì)定理，可得AD⊥側(cè)面BC₁，進(jìn)而由線面垂直的定義可得AD⊥B₁D，即：△AB₁D為直角三角形；
（Ⅲ）設(shè)棱BB₁的長(zhǎng)為X，由三棱錐B₁-ACD，即三棱錐A-B₁CD的體積為

3

3

，構(gòu)造方程可得棱BB₁的長(zhǎng)．

解答：證明：（I）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁C₁∥AC
又∵A₁C₁?平面AB₁C，AC?平面AB₁C；
∴A₁C₁∥平面AB₁C；
（Ⅱ）∵△ABC為等邊三角形
∴AD⊥BC，
又∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC⊥側(cè)面BC₁，
∴AD⊥側(cè)面BC₁，
又∵B₁D?側(cè)面BC₁，
∴AD⊥B₁D
即：△AB₁D為直角三角形；
解：（Ⅲ）設(shè)棱BB₁的長(zhǎng)為X
則正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中所有棱長(zhǎng)全為X
則S△B1CD=

1

4

X2，AD=

3

2

X
則三棱錐B₁-ACD的體積V=

1

3

•S△B1CD•AD=

3

24

X3=

3

3

，
解得X=2
即棱BB₁的長(zhǎng)為2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定，棱錐的體積，熟練掌握空間直線與平面位置關(guān)系的幾何特征，判定定理及性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．