Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2且n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)之和S_n，求S_n，并證明：＞2n-3．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵（n≥2，且n∈N^*），
∴，即（n≥2，且n∈N^*），…（3分）
所以，數(shù)列{}是等差數(shù)列，公差d=1，首項(xiàng)，…（5分）
于是===n-，
∴．…（7分）
（Ⅱ）∵（n-）•2ⁿ，①
∴2S_n=+…+，②…（9分）
①-②，得-
=2+2²+2³+…+
=
=（3-2n）•2ⁿ-3，…（12分）
∴＞（2n-3）•2ⁿ，
∴＞2n-3．…（14分）
分析：（Ⅰ）由（n≥2，且n∈N^*），得數(shù)列{}是等差數(shù)列，公差d=1，首項(xiàng)，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由（n-）•2ⁿ，利用錯(cuò)位相減法能夠得到，由此能夠證明＞2n-3．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)、求和公式、數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力及抽象概括能力．