Question

已知y=f(x)(x∈D，D為此函數(shù)的定義域)同時滿足下列兩個條件：①函數(shù)f(x)在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；②如果存在區(qū)間[a，b]D，使函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的值域為[a，b]，那么稱y=f(x)，x∈D為閉函數(shù)；請解答以下問題：
（1）求閉函數(shù)y=-x³符合條件②的區(qū)間；
（2）判斷函數(shù)是否為閉函數(shù)？并說明理由；
（3）若y=k+(k＜0)是閉函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍。

Answer 1

解：（1）先證y=-x³符合條件①：對于任意，且，
有
，
∴，故y=-x³是R上的減函數(shù)，
由題意得：，則，
∴而，
∴a+b=0，
又b＞a，
∴a=-1，b=1，即所求區(qū)間為[-1，1]。
（2）當在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，（證明略）；
所以，函數(shù)在定義域上不是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減函數(shù)，從而該函數(shù)不是閉函數(shù)。
（3）易知是上的增函數(shù)，符合條件①；
設函數(shù)符合條件②的區(qū)間為，
則，故a，b是的兩個不等根，
即方程組 有兩個不等非負實根；
設為方程的二根，則，
解得：，
∴k的取值范圍是。