Question

5．已知函數(shù)$f（x）=\frac{ax}{lnx}$．
（1）若f（x）在點(diǎn)（e²，f（e²））處的切線與直線4x+y=0垂直，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若方程f（x）=1有兩個不相等的實(shí)數(shù)解x₁，x₂，證明：x₁+x₂＞2e．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用切線斜率推出a，利用導(dǎo)函數(shù)的符號求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．
（2）利用方程的解，通過化簡求出a的表達(dá)式，利用分析法轉(zhuǎn)化證明即可．

解答 解：（1）$f′（x）=\frac{a（lnx-1）}{{{{ln}^2}x}}$．
∴$f′（{e^2}）=\frac{a}{4}=\frac{1}{4}$．得：a=1，
∴$令f′（x）=\frac{lnx-1}{{{{ln}^2}x}}＜0$，得：x∈（0，1）∪（1，e）
即f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1）和（1，e）
（2）證明：由$\left\{\begin{array}{l}ln{x_2}=a{x_2}\\ ln{x_1}=a{x_1}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}ln{x_1}-ln{x_2}=a（{x_1}-{x_2}）\\ ln{x_1}+ln{x_2}=a（{x_1}+{x_2}）\end{array}\right.$，
∴$a=\frac{{ln{x_1}-ln{x_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$，
∵${x}_{1}+{x}_{2}＞2\sqrt{{x}_{1}•{x}_{2}}$，
只要證${x_1}{x_2}＞{e^2}?ln{x_1}+ln{x_2}＞2$
只需證$ln{x_1}+ln{x_2}=a（{x_1}+{x_2}）=（{x_1}+{x_2}）\frac{{ln{x_1}-ln{x_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}＞2$，不妨設(shè)x₁＞x₂
即證$ln\frac{x_1}{x_2}＞\frac{{2（{x_1}-{x_2}）}}{{{x_1}+{x_2}}}，令\frac{x_1}{x_2}=t＞1$，
只需證$lnt＞\frac{2（t-1）}{t+1}，g（t）=lnt-\frac{2（t-1）}{t+1}=lnt+\frac{4}{t+1}-2$，
則g（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，g（t）＞g（1）=0（t＞1），即證．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，分析法證明不等式以及函數(shù)方程的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．