Question

已知E、F分別為棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BB₁、B₁C₁的中點(diǎn)，則A₁到EF的距離為

3 2

4

a

．

Answer 1

分析：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．則A₁（0，a，0），E(0，0，

a

2

)，F(

a

2

，0，0)，得到線段EF的中點(diǎn)M(

a

4

，0，

a

4

)．可證明

A1M

•

EF

=0，即|

A1M

|即為A₁到EF的距離．利用向量模的計(jì)算公式即可得出．

解答：解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．
則A₁（0，a，0），E(0，0，

a

2

)，F(

a

2

，0，0)，
線段EF的中點(diǎn)M(

a

4

，0，

a

4

)．
∴

A1M

=(

a

4

，-a，

a

4

)，

EF

=(

a

2

，0，-

a

2

)．
∵

A1M

•

EF

=

a2

8

-

a2

8

=0．
∴

A1M

⊥

EF

，
∴|

A1M

|即為A₁到EF的距離．
∵|

A1M

|=

( a 4 )2+(-a)2+( a 4 )2

=

3 2

4

a．
∴點(diǎn)A₁到EF的距離為

3 2 a

4

．
故答案為

3 2 a

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系利用向量垂直得到點(diǎn)到直線的距離、向量模的計(jì)算公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．