已知定義在R上的恒不為0的函數(shù)y=f（x）滿足f（x1+x2）=f（x1）•f（x2），試證明：
（1）f（0）=1及f（x1-x2）=
f(x1)
f(x2)
；
（2）f（nx）=[f（x）]n（n∈N，n≥2）；
（3）若x＞0時，f（x）＞1，則函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．
考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：（1）賦值法：令x1=x2=0，易求得f（0）=1，再根據(jù)f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）可變形為f（x1）=f（（x1+x2）-x2）=
f(x1+x2)
f(x2)
，由此可得結(jié)論；
（2）迭代法即可，f（nx）=f[（n-1）x+x]=f[（n-1）x]f（x）=f[（n-2）x]f2（x）=…
（3）采用賦值法結(jié)合單調(diào)性的定義構(gòu)造出f（x1）-f（x2），判斷其符號即可．
解答： 解：（1）令x1=x2=0，得f（0）=f2（0），又因為f（0）≠0，所以f（0）=1；
由f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）得f（x1）=f（（x1+x2）-x2）=
f(x1+x2)
f(x2)
①，所以不妨令x1=x1+x2，x2=x2，代入①式可得f（x1-x2）=
f(x1)
f(x2)
．
（2）由f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）得f（nx）=f（（n-1）x+x）=[f（n-1）x]f（x）=f[（n-2）x+x]f（x）=f[（n-2）x]f2（x）=…=f[（n-i）x]fi（x）=…=f（x）fn-1（x）=fn（x）（i=0，1，2，…，n）．
（3）令x1=x2=
x
2
，則f（x）=f2（
x
2
）＞0，所以函數(shù)f（x）＞0恒成立．
任取x1＜x2，則x2-x1＞0，所以由（1）得
f(x2)
f(x1)
=f（x2-x1），又因為x＞0時，f（x）＞1，所以
f(x2)
f(x1)
=f（x2-x1）＞1，
所以f（x2）＞f（x1）＞0，所以函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．
點評：本題考查了抽象函數(shù)的單調(diào)性的證明，主要還是利用定義法，本例是利用作商法證明單調(diào)性，此時要注意作商的兩個數(shù)須同號才能比較大小．下結(jié)論．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線f（x）=xn+1（n∈N*）與直線x=1交于點P，若設(shè)曲線y=f（x）在點P處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo)為xn，則log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014的值為
 
．

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集合A={a2，a+1，-1}，B={2a-1，|a-2|，3a2+4}，-1∈A∩B，則a=
 
．

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命題“如果實數(shù)x能被2整除，則x是偶數(shù)”的否命題是（　　）
A、如果實數(shù)x不能被2整除，則x是偶數(shù)
B、如果實數(shù)x能被2整除，則x不是偶數(shù)
C、如果實數(shù)x不能被2整除，則x不是偶數(shù)
D、存在一個能被2整除的數(shù)，它不是偶數(shù)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求函數(shù)零點：
（1）y=x2-x-2；
（2）2x-1=0；
（3）2x+x-1=0．

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已知全集U=R，M={x|x＞1}，N={x|x≤-1，或x≥5}，則M∩（∁UN）=（　�。�
A、{x|1＜x≤5}
B、{x|1＜x＜5}
C、{x|-1＜x＜5}
D、∅

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)g（x）=
1
6
x3+
1
2
（a-2）x2，h（x）=2alnx，f（x）=g′（x）-h（x）．
（1）當(dāng)a∈R時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（2）是否存在實數(shù)a，對任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有
f(x2)-f(x1)
x1-x2
＜a．若存在，求出a的取值范圍，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
x
1+x
；
（1）求f（2）與（
1
2
）f，f（3）與f（
1
3
）的值；
（2）由第（1）小題的結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)f（x）與f（
1
x
）之間有什么關(guān)系？請證明你的發(fā)現(xiàn)；
（3）練習(xí)第（2）小題的結(jié)論，求：
f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）+f（2014）+f（
1
2
）+f（
1
3
）+…+f（
1
2013
）+f（
1
2014
）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC的面積為1，且
AB•
CB
=-2，則角B的大小為
 
．

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同步練習(xí)冊答案