Question

19．下列判斷正確的是④．（填寫所有正確的序號）
①若sinx+siny=$\frac{1}{3}$，則siny-cos²x的最大值為$\frac{4}{3}$；
②函數y=sin（2x+$\frac{π}{4}$）的單調增區(qū)間是[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]，k∈Z；
③函數f（x）=$\frac{1+sinx-cosx}{1+sinx+cosx}$是奇函數；
④函數y=tan$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{sinx}$的最小正周期是π．

Answer 1

分析 由siny=$\frac{1}{3}$-sinx∈[-1，1]，解得-$\frac{2}{3}$≤sinx≤1，將所給函數式化為sinx的二次函數，求得最大值，
即可判斷①；
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解不等式即可得到所求增區(qū)間，可判斷②；
由1+sinx+cosx≠0，運用兩角和的正弦公式和正弦函數的圖象，可得x的范圍，即可判斷③；
運用二倍角正弦、余弦公式，化簡整理，可得y=-$\frac{1}{tanx}$，即可得到周期，即可判斷④．

解答 解：①若sinx+siny=$\frac{1}{3}$，可得siny=$\frac{1}{3}$-sinx∈[-1，1]，
解得-$\frac{2}{3}$≤sinx≤1，則siny-cos²x=$\frac{1}{3}$-sinx-（1-sin²x）=（sinx-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{11}{12}$，
當sinx=-$\frac{2}{3}$時，取得最大值為$\frac{4}{9}$，故①錯；
②由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，可得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z，
函數y=sin（2x+$\frac{π}{4}$）的單調增區(qū)間是[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z，故②錯；
③函數f（x）=$\frac{1+sinx-cosx}{1+sinx+cosx}$，可得1+sinx+cosx≠0，即為$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）≠-1，
即有x+$\frac{π}{4}$≠2kπ+$\frac{5π}{4}$且x+$\frac{π}{4}$≠2kπ+$\frac{7π}{4}$，即為x≠2kπ+π且x≠2kπ+$\frac{3π}{2}$，
則定義域不關于原點對稱，f（x）為非奇非偶函數，故③錯；
④y=tan$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{sinx}$=$\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}$-$\frac{1}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}$=$\frac{2si{n}^{2}\frac{x}{2}-1}{sinx}$=-$\frac{cosx}{sinx}$=-$\frac{1}{tanx}$，∴T=π．故④對．
故答案為：④．

點評 本題考查命題的真假判斷，主要考查三角函數的圖象和性質，考查函數的單調性、奇偶性和周期性，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．