Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x≤0}\\{f（x-1）+1，x＞0}\end{array}\right.$，當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，方程f（x）=x的所有根之和為6．

Answer 1

分析 先根據(jù)函數(shù)式得出，當(dāng)x∈（n，n+1]時(shí)，f（x）=（x-n）²+n，再畫出兩函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象得出方程的根，再求和即可．

解答 解：當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x²+2x=（x+1）²-1，所以，
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）=f（x-1）+1=x²，
當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f（x）=f（x-1）+1=（x-1）²+1，
當(dāng)x∈（2，3]時(shí)，f（x）=f（x-1）+1=（x-2）²+2，
…
當(dāng)x∈（n，n+1]時(shí)，f（x）=f（x-1）+1=（x-n）²+n，
函數(shù)圖象如右圖所示，再畫出y=x的圖象，
由圖可知，當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，兩圖象共有四個(gè)交點(diǎn)，
分別為：（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），
即四個(gè)根為：x₁=0，x₂=1，x₃=2，x₄=3，
因此，所有根的和為：x₁+x₂+x₃+x₄=6，
故答案為：6．

點(diǎn)評 本題主要考查了分段函數(shù)解析式的確定與根的個(gè)數(shù)判斷，涉及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想，屬于中檔題．