如圖，在直三棱柱中，，，為棱 上的一點(diǎn)，分別為、的重心．
（1）求證：；
（2）若二面角的正切值為，求兩個(gè)半平面、所成銳二面角的余弦值；
（可選）若點(diǎn)在平面的射影正好為,試判斷在平面的射影是否為．

（1）證明：設(shè)的中點(diǎn)分別為
分別是的重心
三點(diǎn)共線，且
三點(diǎn)共線，且

在矩形中顯然有
;
（2）方法一：因?yàn)樵谥庵?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/4b/5/1s2rr2.gif" style="vertical-align:middle;" />中，由于，所以兩兩垂直故可以建立以為軸，為軸，為軸的空間直角坐標(biāo)系，則有：，

可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，面的法向量為，

可以取
顯然面的法向量為
由二面角的正切值為，則易求得求二面角的余弦值為
.
即點(diǎn)為的中點(diǎn)；
同理可求得面的法向量
故
兩個(gè)半平面、所成銳二面角的余弦值．
方法二：連接，則在等腰中，
又易證：

為二面角的平面角
在中，,而在三角形中易求得
，即得到點(diǎn)是的中點(diǎn)
以下解法同解法一.

解析

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，側(cè)棱AA1=
2
，M為A1B1的中點(diǎn)，則AM與平面AA1C1C所成角的正切值為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013屆廣東省高二下期中理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，在直三棱柱中， AB=1，，

∠ABC=60.

(1)證明：；

（2）求二面角A——B的正切值。

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年天津市高三第二次月考文科數(shù)學(xué) 題型：解答題

（本小題滿分13分）如圖，在直三棱柱中，，分別為的中點(diǎn)，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求二面角的余弦值．

 

 

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年四川省高三2月月考理科數(shù)學(xué) 題型：解答題

如圖，在直三棱柱中，，，是的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）試問(wèn)線段上是否存在點(diǎn)，使與成 角？若存在，確定點(diǎn)位置，若不存在，說(shuō)明理由．

 

 

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013屆云南省高二9月月考數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)是的中點(diǎn).

求證：（1）；（2）平面.

 

 

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案