Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（x-1）=-f（-x+1），且當(dāng)x≤0時，f（x）=x³，若對任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2

2

f（x）恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件確定函數(shù)是奇函數(shù)，求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，并判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性將不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可求出t的最大值．

解答： 解：由f（x-1）=-f（-x+1），得f（x0）=-f（-x-1+1）=-f（x），
即函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
若x＞0，則-x＜0，則f（-x）=-x³=-f（x），
即f（x）=x³，（x＞0），
綜上f（x）=x³，
則不等式f（x+t）≥2

2

f（x）等價為不等式f（x+t）≥f（

2

x），
∵f（x）=x³，為增函數(shù)，
∴不等式等價為x+t≥

2

x在x∈[t，t+2]恒成立，
即：t≥（

2

-1）x，在x∈[t，t+2]恒成立，
即t≥（

2

-1）（t+2），
即（2-

2

）t≥2（

2

-1），
則t≥

2( 2 -1)

2- 2

=

2

，
故實數(shù)t的取值范圍[

2

，+∞），
故答案為：[

2

，+∞）

點評：本題主要考查不等式恒成立問題，利用函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的表達(dá)式以及判斷函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．