Question

設函數(shù)f（x）=ln（1+x），g（x）=x
（1）若x＞0，求證：

f(x)

2

＞g (

x

x+2

)
（2）是否存在實數(shù)m，使函數(shù)h（x）=

g(x2)

2

-f（x²）-m恰有四個不同的零點？若存在求出的m范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）構造函數(shù)F（x），求出F（x）的導函數(shù)，判斷出導函數(shù)在[0，+∞）大于0恒成立，求出F（x）的最小值，證出不等式．
（2）求出h（x）的導函數(shù)，令導函數(shù)為0，求出三個極值點，為函數(shù)有四個不同的零點，令h（1）＜0，h（0）＞0，h（-1）＜0求出m的范圍．

解答：解：（1）證明：令F(x)=

f(x)

2

-g(

x

x+1

)
∴F′(x)=

x2

2(x+1)(x+2)2

易知F（X）在[0，+∞）為增函數(shù)，
所以F（X）＞F（0）=0
即

f(x)

2

＞g(

x

x+2

)
（2）由h′（x）=0得x=-1，0，1，
再由h（1）＜0，h（0）＞0，h（-1）＜0
易得

1

2

-ln2＜m＜0時，函數(shù)h(x)=

g(x2)

2

-f(x2)-m恰有四個不同的零點

點評：通過導函數(shù)判斷函數(shù)的單調性：導函數(shù)大于0函數(shù)遞增；導函數(shù)小于0，函數(shù)遞減；證明不等式一般通過構造函數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)的最值來證．