已知正項(xiàng)數(shù)列{an}和{bn}中,a1=a(0<a<1),b1=1-a.當(dāng)n≥2時(shí),an=an-1bn,bn=
(1)證明:對(duì)任意n∈N*,有an+bn=1;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
【答案】分析:(1)直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明方法,驗(yàn)證n=1時(shí)命題成立,然后假設(shè)n=k時(shí)命題成立,證明n=k+1時(shí)命題也成立即可.
(2)利用已知和(1)的結(jié)果,化簡(jiǎn)an+1=anbn+1推出-=1.然后說明數(shù)列{}是公差為1的等差數(shù)列,其首項(xiàng)為=,求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
解答:解:(1)證明:用數(shù)學(xué)歸納法證明.
①當(dāng)n=1時(shí),a1+b1=a+(1-a)=1,命題成立;
②假設(shè)n=k(k≥1且k∈N*)時(shí)命題成立,即ak+bk=1,則當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1+bk+1=akbk+1+bk+1=(ak+1)•bk+1=(ak+1)•===1.
∴當(dāng)n=k+1時(shí),命題也成立.
由①、②可知,an+bn=1對(duì)n∈N*恒成立.
(2)∵an+1=anbn+1===
==+1,
-=1.
數(shù)列{}是公差為1的等差數(shù)列,其首項(xiàng)為=,
=+(n-1)×1,從而an=
點(diǎn)評(píng):本題是基礎(chǔ)題,考查數(shù)學(xué)歸納法的證明方法,注意n=k+1的證明過程,增加了2k個(gè)區(qū)域,這是證明的關(guān)鍵所在,兩個(gè)步驟缺一不可.注意(2)的裂項(xiàng)法的應(yīng)用.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足:a1=3,(2n-1)an+2=(2n+1)an-1+8n2(n>1,n∈N*
(1)求證:數(shù)列{
an
2n+1
}
為等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an
(2)設(shè)bn=
1
an
,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,并求Sn的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義:稱
n
a1+a2+…+an
為n個(gè)正數(shù)a1,a2,…,an的“均倒數(shù)”,已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為
1
2n
,則
lim
n→∞
nan
sn
( 。
A、0
B、1
C、2
D、
1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知正項(xiàng)數(shù)列an中,a1=2,點(diǎn)(
an
an+1)
在函數(shù)y=x2+1的圖象上,數(shù)列bn中,點(diǎn)(bn,Tn)在直線y=-
1
2
x+3
上,其中Tn是數(shù)列bn的前項(xiàng)和.(n∈N+).
(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=an2+2an(n∈N+),令bn=log2(an+1).
(1)求證:數(shù)列{bn}為等比數(shù)列;
(2)記Tn為數(shù)列{
1
log2bn+1log2bn+2
}
的前n項(xiàng)和,是否存在實(shí)數(shù)a,使得不等式Tn<log0.5(a2-
1
2
a)
對(duì)?n∈N+恒成立?若存在,求出實(shí)數(shù)a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知正項(xiàng)數(shù)列{an},Sn=
1
8
(an+2)2

(1)求證:{an}是等差數(shù)列;
(2)若bn=
1
2
an-30
,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.

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