Question

已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的最小值；

（Ⅲ）若，使（）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）單調(diào)減區(qū)間是,增區(qū)間是.；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

試題分析：（1）先求，解不等式并和定義域求交集，得的單調(diào)遞增區(qū)間；解不等式并和定義域求交集，得的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）等價(jià)于在時(shí)恒成立，即，故，得實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）由特稱量詞的含義知，在區(qū)間內(nèi)存在兩個(gè)獨(dú)立變量，使得已知不等式成立，等價(jià)于的最小值小于等于的最大值，分別求兩個(gè)函數(shù)的最小值和最大值，建立實(shí)數(shù)的不等式，進(jìn)而求的范圍.

試題解析：由已知函數(shù)的定義域均為,且.

（Ⅰ）函數(shù)，當(dāng)且時(shí),;當(dāng)時(shí),.

所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是,增區(qū)間是.

（Ⅱ）因f(x)在上為減函數(shù)，故在上恒成立．

所以當(dāng)時(shí)，．又，故當(dāng)，即時(shí)，．所以于是，故a的最小值為．

（Ⅲ）命題“若使成立”等價(jià)于“當(dāng)時(shí)，

有”．

由（Ⅱ），當(dāng)時(shí)，，．  問(wèn)題等價(jià)于：“當(dāng)時(shí)，有”．

當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ），在上為減函數(shù)，則=，故．

當(dāng)0<時(shí)，由于在上為增函數(shù)，故的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030404272461524802/SYS201403040428055058924499_DA.files/image055.png">，即．由的單調(diào)性和值域知，唯一，使，且滿足：當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；所以，=，．所以，，與矛盾，不合題意．綜上，得．

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性上的應(yīng)用；2、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值.