已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的最小值;
(Ⅲ)若,使
(
)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(Ⅰ)單調(diào)減區(qū)間是,增區(qū)間是
.;(Ⅱ)
;(Ⅲ)
.
【解析】
試題分析:(1)先求,解不等式
并和定義域求交集,得
的單調(diào)遞增區(qū)間;解不等式
并和定義域求交集,得
的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)等價(jià)于
在
時(shí)恒成立,即
,故
,得實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)由特稱(chēng)量詞的含義知,在區(qū)間
內(nèi)存在兩個(gè)獨(dú)立變量
,使得已知不等式成立,等價(jià)于
的最小值小于等于
的最大值,分別求兩個(gè)函數(shù)的最小值和最大值,建立實(shí)數(shù)
的不等式,進(jìn)而求
的范圍.
試題解析:由已知函數(shù)的定義域均為
,且
.
(Ⅰ)函數(shù),當(dāng)
且
時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
.
所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是
,增區(qū)間是
.
(Ⅱ)因f(x)在上為減函數(shù),故
在
上恒成立.
所以當(dāng)時(shí),
.又
,故當(dāng)
,即
時(shí),
.所以
于是
,故a的最小值為
.
(Ⅲ)命題“若使
成立”等價(jià)于“當(dāng)
時(shí),
有”.
由(Ⅱ),當(dāng)時(shí),
,
. 問(wèn)題等價(jià)于:“當(dāng)
時(shí),有
”.
當(dāng)
時(shí),由(Ⅱ),
在
上為減函數(shù),則
=
,故
.
當(dāng)0<
時(shí),由于
在
上為增函數(shù),故
的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030404272461524802/SYS201403040428055058924499_DA.files/image055.png">,即
.由
的單調(diào)性和值域知,
唯一
,使
,且滿(mǎn)足:當(dāng)
時(shí),
,
為減函數(shù);當(dāng)
時(shí),
,
為增函數(shù);所以,
=
,
.所以,
,與
矛盾,不合題意.綜上,得
.
考點(diǎn):1、導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性上的應(yīng)用;2、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014屆江西省高三上學(xué)期第二次月考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若對(duì)任意,函數(shù)
在
上都有三個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011年廣東省東莞市教育局教研室高三上學(xué)期數(shù)學(xué)文卷 題型:解答題
(本小題滿(mǎn)分分)
已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最大值;
(2)在中,
,角
滿(mǎn)足
,求
的面積.
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