Question

已知多面體ABCDFE中， 四邊形ABCD為矩形，AB∥EF，AF⊥BF，平面ABEF⊥平面ABCD，O、M分別為AB、FC的中點，且AB=2，AD=EF=1。
（Ⅰ）求證：AF⊥平面FBC；
（Ⅱ）求證：OM∥平面DAF；
（Ⅲ）設(shè)平面CBF將幾何體EFABCD分成的兩個錐體的體積分別為V_F-ABCD，V_F-CBE，求V_F-ABCD∶V_F-CBE的值。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB， BC平面ABCD，而四邊形ABCD為矩形 ∴BC⊥AB， ∴BC⊥平面ABEF ∵AF平面ABEF ∴BC⊥AF， ∵BF⊥AF，BC∩BF=B， ∴AF⊥平面FBC； （Ⅱ）取FD中點N，連接MN、AN，則MN∥CD， 且MN=CD，又四邊形ABCD為矩形， ∴MN∥OA，且MN=OA， ∴四邊形AOMN為平行四邊形， ∴OM∥AN， 又∵OM平面DAF，ON平面DAF ∴OM∥平面DAF； （Ⅲ）過F作FG⊥AB與G， 由題意可得：FG⊥平面ABCD， ∴VF-ABCD =S矩形ABCD·FG=FG ∵CF⊥平面ABEF ∴VF-CBE=VC-BFE =S△BFE·CB==FG， ∴VF-ABCD∶VF-CBE=4∶ 1。