Question

已知⊙C過點(diǎn)P（1，1），且與⊙M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱．
（1）求⊙C的方程；
（2）設(shè)Q為⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求

PQ

•

MQ

的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)圓心的坐標(biāo)，利用對(duì)稱的特征，建立方程組，從而求出圓心坐標(biāo)，又⊙C過點(diǎn)P（1，1），可得半徑，故可寫出⊙C方程．
（2）設(shè)Q的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示兩個(gè)向量的數(shù)量積，化簡(jiǎn)后再進(jìn)行三角代換，可得其最小值．

解答：解：（1）設(shè)圓心C（a，b），則

a-2 2 + b-2 2 +2=0 b+2 a+2 =1

，解得 a=0，b=0  
則圓C的方程為x²+y²=r²，
將點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，1）代入得r²=2，
故圓C的方程為x²+y²=2；
（2）設(shè)Q（x，y），則x²+y²=2，

PQ

•

MQ

=（x-1，y-1）•（x+2，y+2）=x²+y²+x+y-4=x+y-2，
令x=

2

cosθ，y=

2

sinθ，
∴

PQ

•

MQ

=

2

cosθ+

2

sinθ-2=2sin（θ+

π

4

）-2，
∴θ+

π

4

=2kπ-

π

2

時(shí)，sin（θ+

π

4

）的最小值為-1，
所以

PQ

•

MQ

的最小值為-2-2=-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的對(duì)稱性，考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．