Question

18、已知（1+3x）ⁿ的展開式中，末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于121，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析：利用二項(xiàng)式系數(shù)為C_n^r，列出方程求出n值，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，利用展開式中最大的系數(shù)大于它前面的系數(shù)同時大于它后面的系數(shù)求出展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

解答：解：∵末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為C_n^n-2，C_n^n-1，C_nⁿ
∴C_n^n-2+C_n^n-1+C_nⁿ=121
∴C_n²+C_n¹+C_n⁰=121即n²+n-240=0
∴n=15或n=-16（舍）
∴T_r+1=C₁₅^r（3x）^r=C₁₅^r3^rx^r
設(shè)第r+1項(xiàng)與第r項(xiàng)的系數(shù)分別為t_r+1，t_r
令t_r+1=C₁₅^r3^r，t_r=C₁₅^r-13^r-1
∴t_r+1≥t_r則可得3（15-r+1）＞r解得r≤12
∴當(dāng)r取小于12的自然數(shù)時，都有t_r＜t_r+1當(dāng)r=12時，t_r+1=t_r
∴展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T₁₂=C₁₅¹¹3¹¹x¹¹和T₁₃=C₁₅¹²3¹²x¹²

點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)展開式中的系數(shù)最大的項(xiàng)的求法：利用最大的系數(shù)大于它前面的系數(shù)同時大于它后面的系數(shù)來求．