Question

求過(guò)橢圓

x2

9

+y²=1的右焦點(diǎn)，且傾斜角為

π

6

的直線被橢圓所截弦長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)斜率式設(shè)直線方程，與橢圓方程消去y，利用根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可算出弦長(zhǎng)．

解答： 解：∵橢圓方程為橢圓

x2

9

+y²=1，
∴焦點(diǎn)分別為F₁（-2

2

，0），F(xiàn)₂（2

2

，0），
∴過(guò)橢圓

x2

9

+y²=1的右焦點(diǎn)，且傾斜角為

π

6

的直線方程為y=

3

3

（x-2

2

），
設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將AB方程與橢圓方程消去y，得4x²-12

2

x+15=0
由韋達(dá)定理可得：x₁+x₂=3

2

，x₁x₂=

15

4

因此，|AB|=

1+( 3 3 )2

•|x₁-x₂|=

2 3

3

•

(3 2 )2-4× 15 4

=2．

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)且傾斜角為

π

6

的直線被橢圓所截弦長(zhǎng)．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．