Question

4．已知函數(shù)f（x）=asinxcosx-cos2x的圖象過點$（\frac{π}{8}，0）$，
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）求函數(shù)y=f（x）在$[{0，\;\;\frac{π}{2}}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）化簡函數(shù)f（x），根據(jù)函數(shù)圖象過點$（\frac{π}{8}，0）$，求出a的值，從而求出f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）根據(jù)函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間得出f（x）在$[{0，\;\;\frac{π}{2}}]$上先增后減，從而求出它的最值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=asinxcosx-cos2x=$\frac{a}{2}$sin2x-cos2x，且圖象過點$（\frac{π}{8}，0）$，
∴$\frac{a}{2}$sin$\frac{π}{4}$-cos$\frac{π}{4}$=0，解得a=2；
∴f（x）=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴$\frac{3π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{7π}{8}$+kπ，k∈Z，
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)減區(qū)間是[$\frac{3π}{8}$+kπ，$\frac{7π}{8}$+kπ]，k∈Z；
（2）∵函數(shù)y=f（x）的單調(diào)減區(qū)間是[$\frac{3π}{8}$+kπ，$\frac{7π}{8}$+kπ]，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[-$\frac{π}{8}$+kπ，$\frac{3π}{8}$+kπ]，k∈Z；
∴在$[{0，\;\;\frac{π}{2}}]$上有x∈[0，$\frac{3π}{8}$]時，f（x）單調(diào)遞增，
x∈[$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{2}$]時，f（x）單調(diào)遞減；
∴f（x）的最大值是f（$\frac{3π}{8}$）=$\sqrt{2}$sin（2×$\frac{3π}{8}$-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，
最小值是f（0）=$\sqrt{2}$sin（0-$\frac{π}{4}$）=-1．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了轉(zhuǎn)化法與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．