Question

某工廠每天生產(chǎn)某種產(chǎn)品最多不超過40件，并且在生產(chǎn)過程中產(chǎn)品的正品率P與每日和生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)x（x∈N^*）間的關(guān)系為P=

4200-x2

4500

，每生產(chǎn)一件正品盈利4000元，每出現(xiàn)一件次品虧損2000元．（注：正品率=產(chǎn)品的正品件數(shù)÷產(chǎn)品總件數(shù)×100%）．
（Ⅰ）將日利潤y（元）表示成日產(chǎn)量x（件）的函數(shù)；
（Ⅱ）求該廠的日產(chǎn)量為多少件時，日利潤最大？并求出日利潤的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題中正品率和盈利情況可得到關(guān)系式y(tǒng)=4000•

4200-x2

4500

•x-2000（1-

4200-x2

4500

）•x，整理后可得到答案．
（2）對（1）中函數(shù)進行求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于0求出x的值，并求出y′＞0、y′＜0的x的范圍，進而可得到答案．

解答：解：（1）y=4000•

4200-x2

4500

•x-2000（1-

4200-x2

4500

）•x=3600x-

4

3

x3
∴所求的函數(shù)關(guān)系是y=-

4

3

x3+3600x（x∈N^*，1≤x≤40）．
（Ⅱ）由上知，y′=3600-4x²，令y′=0，解得x=30．
∴當(dāng)1≤x＜30時，y′＞0；當(dāng)30＜x≤40時，y′＜0．
∴函數(shù)y=-

4

3

x3+3600x（x∈N^*，1≤x≤40）在[1，30）上是單調(diào)遞增函數(shù)，在（30，40]上是單調(diào)遞減函數(shù)．
∴當(dāng)x=30時，函數(shù)y-

4

3

x3+3600x（x∈N^*，1≤x≤40）取最大值，最大值為-

4

3

×30³+3600×30=72000（元）．
∴該廠的日產(chǎn)量為30件時，日利潤最大，其最大值為72000元

點評：本題主要考查根據(jù)已知條件列函數(shù)關(guān)系式、根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性問題．屬基礎(chǔ)題．