Question

如果直線x=my-1與圓C：x²+y²+mx+ny+p=0相交，且兩個交點關(guān)于直線y=x對稱，那么實數(shù)p的取值范圍是

(-∞，-

3

2

)

．

Answer 1

分析：根據(jù)圓的性質(zhì)，得直線x=my-1與直線y=x垂直且圓心C（-

m

2

，-

n

2

）在直線y=x上，由此解出m=n=-1，從而得到直線和圓的方程，再由圓心C到直線的距離小于半徑，利用點到直線的距離公式即可算出實數(shù)p的取值范圍．

解答：解：∵直線x=my-1與圓C相交，且兩個交點關(guān)于直線y=x對稱，
∴圓心C（-

m

2

，-

n

2

）在直線y=x上，可得-

m

2

=-

n

2

，即m=n
∵直線x=my-1與直線y=x垂直，∴m=n=-1
得直線方程x=-y-1即x+y+1=0，
圓C：x²+y²-x-y+p=0，圓心C（

1

2

，

1

2

），半徑R=

1 2 -p

∵直線x+y+1=0與圓C相交，
∴

| 1 2 + 1 2 +1|

2

＜

1 2 -p

即

2

＜

1 2 -p

，解之得p＜-

3

2

即實數(shù)p的取值范圍是(-∞，-

3

2

)
故答案為：(-∞，-

3

2

)

點評：本題給出直線與圓相交且交點關(guān)于直線y=x對稱，求參數(shù)p的取值范圍，著重考查了點到直線的距離公式、直線與圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．