Question

已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C₁和雙曲線C₂的公共的左右焦點(diǎn)，e₁、e₂是C₁、C₂的離心率，若C₁、C₂在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P，且滿足∠POF₂=2∠PF₁F₂，則e₁、e₂的關(guān)系是（　　）

• A、e₁²+e₂²=2e₁²e₂²
• B、e₁²+e₁e₂+e₂²=2
• C、e₁²+e₂²=2
• D、e₁e₂=2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先確定PF₁⊥PF₂，再利用勾股定理、橢圓、雙曲線的定義，即可得出結(jié)論．

解答： 解：∵∠POF₂=2∠PF₁F₂，
∴∠OPF₁=∠PF₁F₂，
∴OP=c，
∴PF₁⊥PF₂，
設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，則m²+n²=4c²，
∵m+n=2a，m-n=2a′，
∴m=a+a′，n=a-a′，
∴a²+a′²=2c²，
∴e₁²+e₂²=2e₁²e₂²，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓、雙曲線的定義與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定PF₁⊥PF₂是關(guān)鍵．