Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=a＞0，前n項和為S_n，S_n=

a

1+a

（1+a_n）．
（1）求證：{a_n}是等比數(shù)列；
（2）記b_n=a_n1n|a_n|（n∈N^*），當a=

15

5

時是否存在正整數(shù)n，都有b_n≤bm？如果存在，求出m的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知推導(dǎo)出an•

1+a

a

=an-an-1，an=-a•an-1(n≥2)，由此能證明{a_n}是等比數(shù)列．
（2）由an=(-1)n-1an，bn=(-1)n-1nanlna，得若存在滿足條件的正整數(shù)m，則m為偶數(shù)，b2k+2-b2k=-(2k+2)(a2-

2k

2k+2

)a2klna．(k∈N*)，由此能求出存在m=4，滿足題意．

解答： （1）證明：∵Sn=

a

1+a

(1+an)，
∴S_n-1=

a

1+a

（1+a_n-1）．
兩式相減得an•

1+a

a

=an-an-1，an=-a•an-1(n≥2)，
故{a_n}是等比數(shù)列．
（2）解：an=(-1)n-1an，bn=(-1)n-1nanlna，
∵lna＜0，∴b2k＞0，b2k+1＜0(k∈N*)，
若存在滿足條件的正整數(shù)m，則m為偶數(shù)，
b2k+2-b2k=-(2k+2)(a2-

2k

2k+2

)a2klna．(k∈N*)，
當

2k

2k+2

＞

3

5

，即k＞

3

2

時，b_2k+2＜b_2k，
又b₄＞b₂，k≥2時b₄＞b₆＞b₈＞…
∴存在m=4，滿足題意．

點評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查滿足條件的實數(shù)值的求法，解題時要認真審題，注意迭代法的合理運用，是中檔題．